Considere a como um número real e n um número natural não-nulo. O número x recebe o nome de raiz enésima de a, somente se for elevado ao expoente n reproduz a.
2 – Exemplos
O número 4 é uma raiz quadrada de 16, pois 42 = 16
O número -4 é uma raiz quadrada de 16, pois (- 4)2 = 16
O número 2 é uma raiz cúbica de 8, pois 23 = 8
O número -3 é uma raiz cúbica de -27, pois (-3)3 = -27
3 – Existência e notação em R
Sabemos que determinar todas as raízes enésimas de a significa determinar as soluções da equação xn = a.
Portanto, podemos concluir que:
a) a = 0 e n ∈ N*
existe apenas uma raiz enésima de zero que é o próprio zero. Simbolizada por
.
b) a > 0 e n par (e não – nulo)
As duas raízes enésimas do número a se tornam raízes simétricas.
A raiz enésima positiva de a é denominada Raiz Aritmética de a, sendo simbolizada por
.Quando se refere à raiz enésima negativa de a, essa é simétrica da primeira, simbolizada por
-
.Exemplo:
O número 27 tem duas raízes terceiras. A raiz terceira positiva de 27 é representada pelo símbolo
e vale 3. A raiz terceira negativa de 27 é representada pelo símbolo 
e vale -3.
Pois, se 3 elevado a 3 é igual a 27, logo temos: 3 é uma raiz cúbica de 27.
c) a < 0 n par (e não- nulo)
Só podemos encontrar raízes com índice par de números positivos.
Exemplo:
Não existe raiz quadrada de -2, pois não existe nenhum número real x, tal que xy = -2.
d) a ≠ 0 e n ímpar
O número a possui apenas uma raiz enésima, a raiz tem o sinal igual de a, simbolizada por
.Exemplos:
I) O número 8 tem apenas uma raiz cúbica, simbolizada por
e vale 2.
II) O número – 8 tem apenas uma raiz cúbica, simbolizada por
e vale – 2.
7 – Racionalização de denominadores
Racionalizar o denominador de uma fração é o mesmo que eliminar todos os radicais que existem no denominador, sem modificar o seu valor.
Exemplo:
2 . Propriedades Obs.: O uso das propriedades abaixo é facultativo, elas podem ser usadas para facilitar a resolução das equações, o ideal é usá-las somente quando tiver vantagem.
Considere a e b como números reais, m e n serão números inteiros, segue as propriedades:
a) Potências de mesma base:
Na multiplicação, conserva-se a base e somam os expoentes.
Na divisão, conserva-se a base e subtraem os expoentes.
, supondo a ≠0b) Potências de mesmo expoente
Na multiplicação, conserva-se o expoente e multiplicam-se as bases.
Na divisão, conserva-se o expoente e dividem-se as bases.
, supondo b ≠ 0Para fazer o cálculo da potência de outra potência, conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.
Observações:As propriedades vistas anteriormente também podem ser usadas quando os expoentes forem inteiros negativos, no entanto, as bases devem ser ≠ de 0.
LOGARÍTMO
1 – Definição
Em uma base a, onde a > 0 e a ≠ 1, o logaritmo de N é α.
O logaritmo de um número é definido como o expoente que é elevado para que potência obtida seja igual a N.
2 – Propriedades dos logaritmos
Para: M > 0, N > 0, a > 0 e a ≠ 1.
a) Definimos o logaritmo de um produto através da soma dos logaritmos dos fatores.
Simbolicamente:
b) Definimos o logaritmo de um quociente através da diferença entre o logaritmo do numerador e do denominador.
c) Definimos o logaritmo de uma potencia através do expoente multiplicado pelo logaritmo da base da potência.
d) Para definirmos o logaritmo de uma raiz basta saber o inverso do índice da raiz multiplicado pelo logaritmo do radicando.
Lembrando que:
Temos:
PRODUTOS NOTÁVEIS:
1- Fator comum
Considere ax + bx como a adição de duas parcelas.A primeira parcela a . x é o produto do fator a pelo fator x. A segunda parcela b . x é o produto do fator b pelo fator x. Portanto, o fator comum das duas parcelas é x, que poderá ser colocado em evidência modificando a soma pelo produto do fator x pelo fator (a + b).
Veja como você deve fazer:
Exemplos:2m + 2n = 2. (m + n)
3x + 6y = 3. (x + 2y)
a2 b + ab2 + a2 b3 = a . b. (a + b + ab2)
2x3 + 4x2 + 6x = 2. x (x2 + 2x + 3)
3x3 + 4x3 – 2x3 + x3 = x3. (3 + 4 – 2 + 1) = x3. 6 = 6x3
2-Quadrado perfeito
a) O quadrado da soma de duas parcelas [(a + b)2] é igual ao quadrado da primeira parcela [a2], mais o dobro do produto das duas parcelas [2ab], mais o quadrado da segunda parcela [b2]. b) O quadrado da diferença entre duas parcelas [(a – b)2] é igual ao quadrado da primeira parcela [a2], menos o dobro do produto das duas parcelas [2ab], mais o quadrado da segunda parcela [b2].
Justificativas:
c) Observação
Cuidado para não confundir o quadrado da diferença, que é a (a – b)2, com a diferença entre quadrados, que é a2 – b2.
d) Exemplos
a2 + 4a + 4 = a2 + 2 . a . 2 + 22 = (a + 2)2
4a2 + 4ab + b2 = (2a)2 + 2 . 2a . b + b2 = (2a + b)2
36 – 12x + x2 = 62 – 2 . 6 . x + x2 = (6 – x) 2
3-Cubo perfeito
O cubo da soma de duas parcelas [(a + b)3] é igual ao cubo da primeira parcela [a3], mais três vezes o quadrado da primeira pela segunda [3 . a2 . b], mais três vezes a primeira pelo quadro da segunda [3 . a . b2], mais o cubo da segunda parcela [b3]. O cubo da diferença entre duas parcelas [(a – b)3] é igual ao cubo da primeira [a3], menos três vezes o quadrado da primeira pela segunda [3 . a2 . b], mais três vezes a primeira pelo quadrado da segunda [3 . a . b2], menos o cubo da segunda parcela [b3].
Justificativas
Observações:Cuidado para não confundir o cubo da soma, que é (a + b) 3, com a soma de cubos, que é a3 + b3. Ou o cubo da diferença, que é (a – b) 3, com a diferença entre cubos, que é a3 – b3.
Exemplos:
X3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 + 3 . x2 . 2 + 3 . x . 22 + 23 = (x + 2)3
a3 – 9a2 + 27a – 27 = a3 – 3 . a2 . 3 + 3 . a . 32 – 33 = (a – 3) 3
Soma e diferença de cubos
A soma de dois cubos é igual ao produto do fator a + b pelo fator a2 – ab + b2.A diferença entre dois cubos é igual ao produto do fator a – b pelo fator a2 + ab + b2.
Justificativas:
Vejamos alguns exemplos:
a3 + 27 = a3 + 33 = (a + 3) . (a – a . 3 + 32) = (a + 3) . (a2 – 3a + 9)
125 – x3 = 53 – x3 = (5 – x) . (52 + 5 . x + x2) = (5 – x) . (25 + 5x + x2)
m3 + 8 = m3 +23 = (m + 2) . (m2 – m . 2 + 22) = (m + 2) . (m2 – 2m + 4)
27x2 – 8 = (3x)2 – 23 = (3x – 2) . [(3x)2 + 3x . 2 + 22] = (3x – 2) . (9x2 + 6x + 4)
4-Diferença de quadrados
A diferença entre dois quadrados (a2 – b2) é igual ao produto da soma (a + b) pela diferença (a – b).Justificativa:
Exemplos:
a2 – 9 = a2 – 32 = (a + 3) . (a – 3)
4x2 – 1 = (2x)2 – 12 = (2x + 1) . (2x – 1)
81 – m6 = 92 – (m3)2 = (9 + m3) . (9 – m3)
(a + 1)2 – 36 = (a + 1)2 – 62 = [(a + 1) + 6] . [(a + 1) – 6] =
= (a + 7) . (a – 5)
4 – (x – y)2 = 22 – (x – y)2 = [2 + (x – y)] . [2 – (x – y)] =
= (2 + x – y) . (2 – x + y)
Soma e diferença de cubos
A soma de dois cubos é igual ao produto do fator a + b pelo fator a2 – ab + b2.A diferença entre dois cubos é igual ao produto do fator a – b pelo fator a2 + ab + b2.
Justificativas:
Vejamos alguns exemplos:
a3 + 27 = a3 + 33 = (a + 3) . (a – a . 3 + 32) = (a + 3) . (a2 – 3a + 9)
125 – x3 = 53 – x3 = (5 – x) . (52 + 5 . x + x2) = (5 – x) . (25 + 5x + x2)
m3 + 8 = m3 +23 = (m + 2) . (m2 – m . 2 + 22) = (m + 2) . (m2 – 2m + 4)
27x2 – 8 = (3x)2 – 23 = (3x – 2) . [(3x)2 + 3x . 2 + 22] = (3x – 2) . (9x2 + 6x + 4)
EQUAÇÃO DO 1º:
Equação do 1° grau
A palavra equação vem do latim, “equa” cujo significa “igual”.
A equação de 1° grau é toda sentença aberta, em x, que se pode reduzir ao tipo ax + b = 0, com a ∈R^* e b∈ R.
Resolução
Notamos que ax + b = 0 ⇔ ax = – b ⇔ x = -b/a para a ≠0, concluímos que o conjunto-verdade da equação é V = {- b/a}
Discussão
Observando atentamente a equação ax + b= 0, com a, b ∈R, temos as circunstância:
Para a ≠0, ax + b = 0 ⇔
(a equação admite apenas uma solução)
b) Para a = 0 e b ≠ 0, ax + b = 0 não tem solução, pois a sentença 0 . x + b = 0, com b ≠ 0 é sempre falsa.
Sendo assim:
c) Para a = 0 e b = 0, a equação ax + b = 0 aceita todos os números reais como solução, pois a sentença 0 . x + 0 = 0 é sempre verdadeira.
Sendo assim:
Observações:
Sentenças abertas redutíveis ao tipo 0x = 0 são chamadas identidades.
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1 é um exemplo de identidade em R.
Equação do 2° grau Equação do 2° grau é toda a sentença aberta em x, que se pode reduzir ao tipo ax2 + bx + c = 0, com a ∈R*,b∈Re c∈R.
Vamos fazer a resolução para os dois casos abaixo:
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